درباره رمان گتسبی بزرگ

داستان در سال 1922 حریان دارد . گتسبی بزرگ مرد جوان بسیار پولداری است که دائما مهمانی های بزرگ می دهد و همه می توانند در مهمانی های او شرکت کنند . در مورد گذشته او و طریق به دست آوردن ثروتش شایعات زیادی وجود دارد . با این وجود ، نیک همسایه او متوجه می شود که گتسبی از خانواده بسیار فقیری بوده که عاشق دی زی دختری پولدار می شود . گتسبی برای خدمت نظام و تامین پول از دی زی دور می شود اما بعد خبر ازدواج او را دریافت می کند . با این حال گتسبی عاشق می ماند و همیشه و همیشه به دنبال عشق خود می گردد . قدرت ، شهرت و نفوذ هیچ یک در عشق او کارگر نیست . داستان در زمانی که اتفاق می افتد که گتسبی و دی زی نهایتا در یک شهر مستقر شده اند ....

کتاب بسیار مشهور هست و به عنوان یکی از منابع استاندارد در اکثر دانشگاه های جهان در رشته ادبیات آمریکا  تدریس می شه . این کتاب را دومین کتاب برتر انگلیسی زبان می دانند و گفته شده که آغازگر سبک خاصي در نگارش رمان در قرن بيستم است که بعدها توسط «ارنست همينگوي» و ديگران تبديل به شيوه رايج نويسندگي شد . اقتباس های سینمایی موفقی هم از روی این کتاب تهیه شده . شاید براتون جالب باشه بدونید که کتاب در هنگام چاپ با استقبال زیادی رو به رو نمی شه  و در خلال جنگ جهانی دوم و دوران رکود اقتصادی به دست فراموشی سپرده می شه اما هنگام تجدید چاپ ناگهان توجه زیادی را به خود جلب می نماید . نکته جالب دیگه اینه که خود فیتس جرالد هم پسری از طبقه پایین جامعه بوده که عاشق زلدا دختری ثروتمند می شه و تا پایان عمر عاشق و شیفته او می ماند . البته جرالد با زلدا ازدواج می کنه . هر چند زلدا در مدت ازدواجشون چندین بار دچار حمله عصبی می شه و به خاطر بیماریش در آسایشگاه روانی بستری می گرده .

موضوع کتاب و واکنش افراد داستان واقعا بی نظیره خیلی موشکافانه و با دیدگاهی روانشناسانه به قضیه نگاه کرده . عکس العمل ها و رفتارهای گتسبی به عنوان پسری رمانتیک و عاشق از طبقه پایین و رفتارهای دی زی به عنوان دختری عاشق از یک طبقه فاسد و ثروتمند بسیار بسیار زیبا خلق شده و خیلی تند و تیز اما ظریف خودخواهی قشری از جامعه را به تصویر کشیده . طرز نقل و پیش برد قصه هم یک جورایی جالبه چون شما را با جذابیت به سوی خودش می کشه و شاید جدیدتر باشه اما خوب بسیاری چیزها را زمانی در مورد گتسبی فاش می کنه که فرصت هضم اونها و در نتیجه همدردی و درک عظمت روح گتسبی رو از دست می دیم . ترجمه اش را هم اصلا دوست نداشتم خیلی خشکه و گرمی خاصی نداره . خیلی وقت بود  قصد داشتم این کتاب رو بخونم ، مضمومنش را دوست داشتم هر چند از نظر سبک ادبی متوجه تغییر بنیادینی که در ادبیات گذاشته نشدم . به هر حال تجربه خوبی بود .  

 

 قسمت های زیبایی از کتاب

به هوش که اومدم خودم را کاملا بی کس حس کردم . بلافاصله از پرستار پرسیدم که پسره یا دختره . وقتی بهم گفت دختره سرم رو برگردوندم و زدم زیر گریه . گفتم خیلی خب ، خوشحالم که دختره . امیدوارم که خل باشه – واسه ی این که بهترین چیزی که یک دختر تو این دنیا می تونه باشه ، همینه ، یک خل خوشگل .

 

در مدتی که دی زی حرف می زد افسره طوری بهش نگاه می کرد که هر دختری دلش می خواد یه مردی یه وقتی تو زندگی نگاش بکنه .

 

مشروب نخوردن در جماعت مشروب خورها ، مزیت بزرگی یه ، آدم می تونه جلو زبون خودش رو بگیره و بعد اگر بی قاعدگی مختصری تو کارش باشه می تونه بندازتش به وقتی که یا دیگرون کور هستند یا اهمیت نمی دن .

 

هیچ آتش یا طراوتی قادر نیست با آنچه آدمی در قلب پراشباح خود انبار می کند برابری کند .

 

گتسبی می دانست که دی زی فوق العاده است  اما قبلا هیچ وقت درنیافته بود که یک دختر خوب تا چه اندازه می تواند فوق العاده باشد .

 

نمی تونم برات بگم وقتی فهمیدم دوستش دارم چه قدر تعجب کردم . حتی مدتی امیدوار بودم ولم کنه ولی این کار رو نکرد . چون اونم منو دوست داشت . فکر می کرد من خیلی چیز سرم می شه برای این که چیزهایی که من می دونستم با چیزهایی که اون می دونست تفاوت داشت ...

 

با وجود همه ی این حرفا ،تو منو ول کردی ، ولم کردی بخورم زمین . از پشت تلفن . من حالا دیگه اصلا فکر تو رو نمی کنم ولی این برای من یه تجربه ی تازه ای بود ، بعدش تا مدتی یه کمی گیج بودم .

کتاب گتسبی بزرگ

گتسبی بزرگ

 

 

گتسبی بزرگ [The Great Gatsby] رمانی از فرانسیس اسکات فیتز جرالد (1896-1940)، نویسنده امریکایی، که در 1925 منتشر شد. این اثر، آمیخته با خاطره‌هایی شخصی که به نثری پرتحرک بیان شده است،‌ ماجراهای جی گتسبی، جوان حاه طلب و بی‌دانش و رمانتیکی است متعلق به خانواده‌ای بی‌بضاعت از میدل وست. ماجراهای این جوان، که در واقعیت جیمز گتس نام دارد، امروزه در ایالات متحد شناخته شده است. از سویی، گتسبی محرم راز پسران هرزه و ناشناس،‌و ماجراجویی دوست داشتنی است، و راوی- شخصی به نام کاراوی – ضمن این که اعمال گتسبی را تنفرانگیز می‌شمارد، چینین اعتراف می‌کند: « در این مرد چیزی فوق‌العاده وجود داشت؛ نمی‌دانم چه حساسیت شدیدی نسبت به وعده‌های زندگی در او بود که گویی به یکی از ماشینهای پیچیده‌ای شبیه می‌شد که زمین‌لرزه‌ها را از فاصله ده مایلی ثبت می‌کنند.» گتسبی، که جنگ 1917- 1918 را با درجه افسری به پایان بده است، به یک قاچاقچی ماهر مشروبات الکلی با شخصتی مرموز تبدیل می‌شود («دختر جوانی زیر لب می‌گوید : فکر می‌کنم مردی را کشته است...»)، و درخشش موفقیتش با یک‌بارگی سقوطش هماهنگ است. گتسبی از همه اشراف نیویورک، که جز دلار به چیزی اهمیت نمی‌دهند، در ملک پرشکوهش در لانگ آیلند پذیرایی می‌کند. جشنهای خیره کننده‌ای را که این ماجراجوی افسانه‌ای برای میهمانانش برپا می دارد شرح می دهد؛ جشنهایی که بیشترشان «به شکلی چاره‌ناپذیر نابکارانه است». با این حال،‌ گتسبی، در اوج سرنوشت، باز هم پسری است در درون اندوهگین و متأثر. خوشبختی گتسی به کوتاهی شهاب است، و او به دست تام بوکنن، میلیاردری متفرعن که گتسبی با همسر او، دیزی، رابطه داشت، کشته می شود و کسی در مرگ او نمی‌گرید. گتسیب بزرگ هجو گزنده‌ای است از خودخواهی بخشی از جامعه امریکایی که اساس آن منحصراً بر پایه پول است،‌و ثروتمندان آن «وظیفه جارو زدن را به دیگران محول می‌کنند». در این اثر، تلخکامی فیتز جرالد را بازمی‌شناسیم که مورد تنفر و تحقیر آنها بود، و پس از جنگ جهانی اول سخنگوی «نسل از دست رفته» شد؛‌ نسل «سالهای غرن دهه 1920» که خود آن را «عصر جاز» لقب داده است. مردمی کهم ثروتمند به دنیا می‌آیند از نظر زیست‌شناسی به نوع دیگری تعلق دارند: چنین است نتیجه اخلاقی این رمان از نویسنده‌ای که، به سبب افراط و آزاد اندیشی،‌ خصوصیتی کاملاً امریکایی دارد. وانگهی، شکستهای شخصی فیتز جرالد او را آماده می‌ساخت تا ماجراهای تریمالیسیون آن سوی اقیانوس اطلس را روایت کند. نویسنده، که خود ماجراجو و کولی بود و انسانی ناموفق به شمار می‌رفت، چه در دانشکده و ارتش و چه در زمان بی‌کاری یا تماس دائم با هالیوود،‌ فراز و نشیبهای سرنوشتی نامتداول را تجربه کرده بود.                  

مهشید نونهالی. فرهنگ آثار. سروش.

رمان کوری

خلاصه و تحليلي بر كتاب كوري

"کوري" يک حکايت اخلاقی مدرن است و مانند داستانهای اخلاقی کهن پيام يا پيامهايی اخلاقی را، اما برای مخاطبی امروزی، در خود نهفته دارد. به همين دليل است که باز مانند آن داستانها، قهرمانهايش نه به نام بلکه با يک صفت ياد ميشوند.

ژوزه ساراماگو، نويسندة پرتغالي، كه بارها نامزد جايزة نوبل ادبيات شده بود، سرانجام ، و دير هنگام – در سن 76 سالگي – موفق شد در سال 1998 اين جايزه را از آن خود وكشورش كند. آثار اين رمان نويس و شاعر كه به عبارتي رئاليسم جادويي را با انتقادات گزندة سياسي مي‌آميزد به 25 زبان ترجمه شده است.
ساراماگو در سال 1922 در نزديكي ليسبون در خانواده‌اي تنگدست به دنيا آمد و به دليل فقر نتوانست تحصيلات دانشگاهي‌اش را به پايان رساند. در يك آهنگري به كارمشغول شد تا بتواند به طور پاره وقت به درسش ادامه دهد.

ساراماگو نخستين رمانش« كشور گناه» را درسال 1947 نوشت اما 35 سال انتظار كشيد تا سرانجام موفقيت ادبي و شهرت در سال 1982 با انتشار رمان « بالتازار و بليوندا» به سراغش بيايد.

سبك شاعرانة ساراماگو كه تخيل و تاريخ و انتقاد از سركوب سياسي و فقر را با هم مي‌آميزد موجب شده است كه او را به نويسندگان امريكاي لاتين بويژه گابريل گارسيا ماركز تشبيه كنند. اما ساراماگو منكر اين شباهت است و مي‌گويد بيشتر از سوانتس و گوگول تأثير پذيرفته است.

اثر جنجالي ساراماگو « انجيل به روايت عيسي مسيح» بود كه در سال 1992 منتشر گرديد. وزير كشور وقت پرتغال آنچنان از اين رمان برآشفت كه نام ساراماگو را از فهرست نامزدهاي : جايزة ادبي اروپا» حذف كرد و گفت اين رمان توهين به كاتوليكهاي پرتغال است و موجب تفرقه افكني در كشور شده است . ساراماگو نيز به نشانة اعتراض با همسر اسپانيايي‌اش پرتغال را ترك گرفت و به لانساروت، جزيره اي آتشفشاني از جزاير قناري، به تبعيدي خود خواسته رفت.

فرهنگستان سوئد با ستايش از ساراماگو و اعلام اهداي جايزة نوبل ادبيات 1998 به وي گفت:« آثار ساراماگو با تمثيلهاي ملهم از تخيل و شفقت و طعنه ما را بي وقفه وادار به ادراك يك واقعيت فرار و مبهم مي‌كند.»

« كوري» يك رمان خاص است، يك اثر تمثيلي ، بيرون از حصار زمان و مكان، يك رمان معترضانه اجتماعي، سياسي كه آشفتگي واجتماع و انسانهاي سر در گم را در دايرة افكار خويش و مناسبات اجتماعي تصوير مي‌كند.

ساراماگو تأكيد بر اين حقيقت دارد كه اعمال انساني در « موقعيت» معنا مي‌شود و ملاك مطلقي براي قضاوت وجود ندارد، زيرا موقعيت انسان ثابت نيست و در تحول دائمي است. در يك كلام ساده، دغدغة عمدة ذهن ساراماگو در اين رمان فلسفي مسئله سرگشتگي انسان معاصر يا « انسان در موقعيت» است كه از خلال ابعاد و لايه هاي مختلف و واكنشهاي انان بررسي مي شود.

از ديگر مايه‌هاي اصلي رمان نقد خشونت و ميليتاريسم، اطاعات كوركورانه ، ديكتاتوري و سير تاريخي و فراگير بودن آن است.
در شهري كه اپيدمي وحشتناك كوري- نه كوري سياه و تاريك كه كوري سفيد و تابناك- شيوع پيدا مي‌كند و نمي‌دانيم كجاست و مي‌تواند هر جايي باشد، خيابانها نام ندارد. شخصيتهاي رمان نيز نام ندارد.

 
دكتر، زن دكتر، دختري كه عينك دودي داشت، پيرمردي كه چشم بند سياه داشت، پسرك لوچ .سبك و ساختار دشوار رمان، پس از چند صفحه، جاذبه‌اي استثنايي پيدا مي‌كند.درخلال پاراگرافهاي طولاني، پيچيدگي‌هاي روح انسان و مشكلات غامض زندگي را تداعي مي‌كند.

كوري مورد نظر ساراماگو كوري معنوي است. سازماندهي و قانونمندي و رفتار عاقلانه خود به نوعي آغاز بينايي است. ساراماگو كلام پيچيده و چند پهلويش را در دهان تك تك شخصيتهاي كتاب و مخصوصاض در پايان در دهان زن دكتر گذاشته است:« چرا ما كور شديم، نمي دانم ،شايد روزي بفهميم ، مي‌خواهي عقيدة مرا بداني ، بله ، بگو ، فكر نمي‌كنم ما كور شديم ، فكر مي‌كنم ما كور هستيم، كور اما بينا، كورهايي كه مي‌توانند ببينند اما نمي‌بينند.»

ساراماگو در « كوري» تعهد و باور عميق خود را به عدالت اجتماعي، احترام به خرد و عقل سليم همراه با تزكية روح و جسم كه تنها را ضمانت پايدار ماندن هر جامعه‌اي است درغالب يك رمان هنرمندان و شگفت انگيز به ما ارمغان ميدهد.

« كوري» در سال 1995 منتشر شد. ساراماگو مي‌گويد:« اين كوري واقعي نيست ، تمثيلي است. كور شدن عقل و فهم انسان است. ما انسانها عقل داريم و عاقلانه رفتار نمي‌كنيم....»

 

مينو مشيري، مهدي غبرايي و اسدالله امرائي سه مترجم به نامي هستند كه از اين رمان ترجمه هايي روانه بازار كرده اند.

 

 

 

خلاصه داستان :‌
در اين رمان ، شخصيت هاي داستان نام ندارد و عنوان هاي آنها رمز گونه است و به نقش اجتماعي هر يك اكتفا مي شود . خلاصه ي رمان كوري چنين است :‌در پشت چراغ قرمز ، راننده ي اتومبيلي ناگهان كور مي شود . اين مرد به كوري عجيبي دچار شده ،‌يعني همه چيز را سفيد مي بيند و گويي در درياي شير فرو رفته است . مرد ديگري او را به خانه اش مي رساند ، اما اتومبيل اين كور را مي دزدد . همسرش او را به چشم پزشكي مي رساند ، اما علت كوري كشف نمي شود . چشم پزشك و دزد اتومبيل هم به همين ترتيب كور مي شوند ، چشم پزشك مسئولين بهداشت را با خبر مي سازد . اين فاجعه را هيولاي سفيد مي گويند . مسئولين براي جلوگيري از سرايت آن، كورها و نزديكانشان را در ساختمان تيمارستاني قرنطينه مي كنند ، اما روز به روز تعداد كورها بيشتر مي شود . همسر چشم پزشك كور نمي شود ، اما خودش را به كوري مي زند تا از همسرش جدا نشود ، او تنها كسي است كه تا پايان داستان بيناست . در قرنطينه چه بلاهايي كه بر سر كورها نمي آيد . همسر چشم پزشك از رفتارها و مصيبت هاي آن ها گزارش عبرت‌انگيزي مي دهد . بسياري از كورها به دست سربازان و نگهبانان قرنطينه كشته مي شوند . اما سربازها هم كم كم كور مي شوند .

 
بزرگ ترين مشكل براي كورها برآوردن نيازهاي اوليه يعني خوراك و مستراح است و با اين كه دولت به آن ها غذا تحويل مي دهد ، اما تقسيم كردن و استفاده از آن بسيار دشوار مي شود . آن دزد اتومبيل به دليل دست درازي به دختر عينكي زخمي و به دست سربازان كشته مي شود . دولت و رسانه ها وعده هاي دروغين مي دهند كه كوري در حال كنترل است . نظم و ترتيب شهر از بين مي رود و كساني كه يك باره كور مي شوند ، همه چيز را از بين مي برند ، اتوبوس ها و هواپيماها ،‌سقوط مي كنند و حوادثي مانند اين ها .

در قرنطينه كه كشوري مستقل است ، دسته يي از كورها اوباش و مسلح ،‌كنترل غذا را به دست مي گيرند . از بقيه كورها مي خواهند كه به خواسته هاي آنها تن دهند و گرنه غذاي هر بخش را قطع مي كنند ، كورها هم براي زنده ماندن تن به همه چيز مي دهند ، ابتدا پول و جواهرات و وسايل آن ها را مي گيرند و در مرحله بعد زن هاي هر بخش را مي خواهند .

همسر چشم پزشك كه بيناست ، قهرمانانه سر دسته اوباش را از پا درمي آورد و لشگري درست مي كند تا با اوباش بجنگند . با چند كشته ، بالاخره بخشي كه اوباش در آن هستند به وسيله همين زن به آتش كشيده مي شود ،‌اما آتش قرنطينه را فرا مي گيرد . كورها فرار مي كنند ، اما از سربازهاي نگهبان اثري نمي بينند . گروه گروه به شهر مي آيند ، اما شهر را زباله داني متروك ، ويرانه ، بدون آب ، برق ،‌ گاز و ديگر امكانات مي يايبند .

همه كور شده‌اند و كورها كه خانه هايشان را گم كرده اند ، گروه گروه با هم به حركت در آمده و به دنبال غذا همه جا را خراب مي كنند .

آن زن كه همسرچشم پزشك است گروه خود را راهنمايي ميكند و به خانه خود مي برد و برايشان غذا تهيه مي كند . با هم به عشق و محبت مي رسند ، كودكي و سگي نيز با آنهاست. بالاخره همان كسي كه نخستين بار كور شده بود و در اين گروه بود بود به طور ناگهاني بينا مي شود و ديگران نيز يكي يكي با شادي فرياد مي زنند كه مي بينند و در شهر اين فريادها شنيده مي شود .

 

دكتر علي اكبر افراسياب پور- دكتراي عرفان- مجله حافظ تحليلي عرفاني از رمان كوري :
اين داستان ماجراي سيمرغ درمنطق الطير و سير و سلوك هاي عرفاني را به ياد مي آورد كه سالكان ،‌پس از طي مراحل هفت گانه به بازيابي خود مي رسند . گروهي كه با حادثه يي نابينا مي شوند ، پس از امتحان هاي بزرگ و با عبور از مراحلي سخت و جانكاه اصلاح مي گردند و به بينايي مي رسند . مهم ترين عامل نجات آنها عشق و خلوص است . قهرمانان داستان در پايان به معشوق خود مي رسند و به سوي آينده يي روشن گام برمي دارند .

در اين داستان سگي وجود دارد كه در پايان به خوشبختي مي رسد و در كنار چشم پزشك و همسرش به زندگي راحتي دست مي يابد و خواننده را به ياد سگ اصحاب كهف مي اندازد كه مانند قهرمانان اين داستان پس از شبي تاريك و خوابي تلخ و عجيب دوباره بيدار مي شوند . البته از اين نظر كه قهرمانان از يك دنياي ديگر وارد مي شوند ، به سراي آخرت نيز اشاره دارد . رنگ سفيد در عرفان جايگاه خاصي دارد و دفتر صوفي فقط سواد و حرف نيست ، بلكه دلي سپيد هم چون برف است . سفيدي سمبل فنا و بقاست كه همه ي رنگ ها را در خود دارد و در عين حال هيچ كدام را نيز ندارد . اين همان پارادوكسي است كه همه‌ي مقولات عرفاني را در برگفته است .

ماجرا از بينايي آغاز و به بينايي منتهي مي شود ،‌مانند انالله و انااليه راجعون و دايره يي كه آغاز و انجام آن به هم مي رسند ، اما در مرحله يي بالاتر و مهم ترين پيام در عرفان همين است كه زندگي را جدي گرفته و با استفاده از دانايي ، توانايي ،‌ خلوص ، و پاكي به بينايي معنوي رسيد . عرفان به انسان آموزش مي دهد كه چه گونه از زندگي حيواني به سوي زندگي انساني و معنوي حركت كند و مطمئن باشد كه اگر بر خودخواهي و شهوات غلبه نمايد و به مرحله ي ديگر خواهي برسد به رستگاري نزديك مي گردد و چشم او به ديدار حقايق امور بينا مي شود كه پيش از آن براي ديده آن ها كور بوده است . همه ي جنگ ها و انحراف هاي انساني از همين نابينايي سرچشمه مي گيرد . اين ماجرا تصويري از زندگي بشر در كره‌ي زمين مي باشد كه انسان ها مانند دسته هايي كور به اين جهان آمده و در تاريخ تمدن خود به دنبال دسترسي به نيازهاي اوليه ي خود چه بدي ها و خوبي هايي كه نكرده اند . مانند آن در اين داستان هم هر چه تعداد كورها در بخش ها زيادتر مي شود ، فسادها و آلودگي ها و خشونت ها بيش تر مي شود و همان دلتنگي و تبعيد را ترسيم نموده كه عرفان بزرگ ايراني چون ، مولوي آن را به زبان شعر بيان نموده و از بريده شدن از نيستان مي نالد و در آرزوي روزگار وصل به سر مي برد و چنين تمثيل هايي در عرفان عموميت دارد .

نخستين قرباني اين داستان كه دزد اتومبيل است به جهت دست درازي به دختر عينكي زخمي و با پشيماني و به دست سربازان كشته مي شود و گويي داستان هابيل و قابيل است كه هوي و هوس آدم ها را از بهشت موعود دور مي سازد و كسي نمي تواند از نتايج اعمال خود فرار كند و در نمايشنامه ي هستي عدالت زيبا سايه افكنده كه نشان از تدبير و حكمت در خلقت است .

در عرفان ، كوري سمبل غفلت ، اكتفا به زندگي مادي ، چشم دل بستن و غوطه وري در تمايلات خودخواهانه دنيوي ست ، كه با اين زمان هماهنگي دارد و زندگي در اين دنيا مانند زندگي قهرمانان در قرنطينه بسيار كوتاه است و هر كس آن چه دارد ، در اين صحنه ي نمايش و زمين مسابقه به ظهور مي رساند ، چه قدر خوب است كه انسان ها بهترين نقش ها را بازي كنند و با مدال طلا از اين مسابقه بيرون آيند كه همان تغيير مثبت در شخصيت آنهاست . در قرنطينه انسان ها كور بودند و از صبح و شب فقط به دنبال سير كردن شكم خود بودند و براي زنده ماندن به هر خفتي تن مي دهند . سرنوشت برخي از انسانها دراين جهان نيز همين گونه رقم خورده و ازمرحله ي حيواني فراتر نمي رود .

در عرفان و تصوف انسان ها كور هستند و نياز به راهنما و مرشدي دارند كه بحث از ولايت را به ميان مي اورد و چنين مرشد و پيري با فداكاري چشم هاي بسته را بينا مي سازد . همان كاري كه شمس تبريزي با مولوي نمود و ده ها نفر مانند آن ها رمان كوري هم همسر چشم پزشكي كه بينايي در ميان نابيناهاست ، چون مرشدي معنوي عمل مي كند و به كورها آموزش مي دهد و آن قدر فداكاري مي كند تا آنها را بيدار سازد . پيام او در داستان اين است : « اگر نمي توانيم مثل آدم زندگي كنيم ، دست كم بكوشيم مثل حيوان زندگي نكنيم » . همين انسان هاي خود ساخته و از خود گذشته بودند كه انسان هاي عقب مانده در جوامع نخستين را به سوي تمدن و پيشرفت رهنمود كردند .

قهرمان اين داستان زني ست كه ديگران را هدايت و تا مرحله ي بينايي پيش مي برد . در عرفان و تصوف ، پيرو مرشد چنين نقشي داشته و در قروني كه زن ها از حقوق ابتدايي خود محروم بودند ، عرفان جايگاه بلندي براي زن در نظر گرفته بود . مولوي مي گويد :

ظاهرا بر زن چو آب ار غالبي
باطنا مغلوب و زن را طالبي
پرتو حق است آن معشوق نيست
خالق است آن گوييا مخلوق نيست
( مثنوي ، د: 1 ، ب :‌2435 ، و 2440)

زن در عرفان جمال ايراني واسطه ي فيض از آسمان به زمين است و عشق زميني و اين جهاني نردباني براي عروج به عشق الهي به شمار مي ايد . كورهاي داستان هم هنگامي كه به خانه مي رسند ، اعتراف مي نمايند كه اگر چنين راهنمايي نداشتند ، هرگز خانه را پيدا نمي كردند .
شايد بتوان اين داستان را فمينيستي و زن گرايانه تحليل نمود ، اما در عرفان با جايگاهي كه براي زن در نظر گرفته اند ، تفسير عرفاني مناسب تر است .

يكي از ويژگي هاي اين داستان خوش بيني و اميد به آينده است و در همه ي اين مصيبت‌ها هرگز سخن از ياس و نااميدي به گوش نمي رسد . همين ويژگي با تحليل عرفاني مناسبت دارد ، زيرا در مكتب ها و فلسفه ي مادي همواره نااميدي موج مي زند و گريزي از آن وجود ندارد . مردمي كه كور هستند ، همه چيز را سفيد مي بينند و گروهي كه نجات مي يابند ،‌درعين بدبختي با روحيه يي خوب واميد به آينده يي روشن پيش مي روند . به هم عشق مي ورزند و خصايص انساني از خود نشان مي دهند . همه ي داستان هايي كه پايان روشني دارند از پيامي عارفانه برخوردارند .

چشم پزشك و همسرش در پايان داستان به كليسا نيز مي روند و اين كوري را آزمايشي آسماني ارزيابي مي كنند و آن زن مي بيند كه مجسمه هاي كليسا نيز چشم هايشان بسته شده و شايد ساراماگو مي خواهد بگويد : مردمي كه چشم از معنويت بسته اند ، معنويت و مقدسات نيز از آن ها چشم مي بندند و به اين نتيجه راهنمايي مي كند كه اديان بهترين راه هاي آسماني به سوي معنويت هستند و با برخورداري از عرفان كه به منزله‌ي قلب براي هر دين است مي توانند انسان ها را از خواب بيدار و از كوري نجات بخشند . قرن ها پيش از ژوزه ساراماگو ، شخصيتي چون شهاب الدين سهروردي ، شهيد عرفان و نور به همين تمثيل پرداخته و رسالت خود را بينا سازي قرار داده و درعرفان سفيدي و نور و بينايي از كهن ترين مفاهيم ملموس و آشنا هستند .

نور در نظريه‌ي كوانتوم ذره يي موجي ست يعني هست و نيست مي باشد و هر ذره يي از نور هر لحظه در حال خلع و لبس است ، همه ي موجودات نيزهمين خاصيت را دارند از يك طرف نور و سفيد هستند كه با چشم سفيد بين يعني از ديدگاه عارفانه و كل بينانه همه چيز و همه چيز هستند و از ديگاه جزئي فقط يك چيز خاص مي باشند . در عرفان بايد چشم سر ، كور و بسته شود تا چشم سرو كلي نگر بينا گردد تا چشم ظاهر بسته نشود ، چشم باطن باز نمي شود . برگرفته و تنظيم شده از فصل نو- نزهت شهركي

فراکتال ها

بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal) ساختاری‌ است که هر جزء از آن با کلش متشابه است.

الگوهای رویش برخالی

ایده خود متشابه در اصل توسط لایبنیتس بسط داده شد. او حتی بسیاری از جزئیات را حل کرد. در سال ۱۸۷۲ کارل وایرشتراس مثالی از تابعی را پیدا کرد با ویژگیهای غیر بصری که در همه جا پیوسته بود ولی در هر جا مشتق پذیر نبود. گراف ‌این تابع اکنون برخال نامیده می شود. در سال ۱۹۰۴ هلگه فون کخ به همراه خلاصه‌ای از تعریف تحلیلی وایرشتراس ، تعریف هندسی‌تری از تابع متشابه ارائه داد که حالا به برفدانه کخ معروف است. در سال ۱۹۱۵ واکلو سرپینسکی مثلثش را و سال بعد فرش‌اش (برخالی) را ساخت. ‌ایده منحنیهای خود متشابه توسط پاول پیر لوی مطرح شد او در مقاله اش در سال ۱۹۳۸ با عنوان «سطح یا منحنیهای فضایی و سطوحی شامل بخش‌های متشابه نسبت به کل» منحنی برخالی جدیدی را توصیف کرد منحنی لوی c. گئورگ کانتور مثالی از زیرمجموعه‌های خط حقیقی با ویژگیهای معمول ارائه داد‌. این مجموعه‌های کانتور اکنون به‌عنوان برخال شناخته می‌شوند. اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم توابع تکرار شونده در سطح پیچیده توسط هانری پوانکاره، فلیکس کلاین، پیر فاتو و گاستون جولیا شناخته شده بودند. با‌این وجود بدون کمک گرافیک کامپیوتری آنها نسبت به نمایش زیبایی بسیاری از اشیایی که کشف کرده بودند، فاقد معنی بودند. در سال ۱۹۶۰ بنوا مندلبرو تحقیقاتی را در شناخت خود-متشابه‌ای طی مقاله‌ای با عنوان «طول ساحل بریتانیا چقدر است؟ خود متشابه‌ای آماری و بعد کسری» آغاز کرد. ‌این کارها بر اساس کارهای پیشین ریچاردسون استوار بود. در سال ۱۹۷۵ مندلبرو جهت مشخص کردن شئی که بعد ((هاوسدورف بیسکویچ)) آن بزرگ‌تر از بعد توپولوژیک است کلمه برخال را‌ایجاد کرد. او‌این تعریف ریاضی را از طریق شبیه سازی خاص کامپیوتری تشریح کرد.


مجموعه جولی

بر خالها از نظر روش مطالعه به برخالهای ‍‌جبری و بر خالهای احتمالاتی تقسیم می شوند. از طرف دیگر برخالها یا خود متشابه اند (self similarity) یا خود الحاق (self affinity) هستند. در مورد خود متشابه‌ای شکل جز شباهت محسوسی به شکل کل دارد این جز، در همه جهات به نسبت ثابتی رشد می کند و کل را به وجود می آورد. اما در خود الحاقی شکل جز در همه جهات به نسبت ثابتی رشد نمی کند. مثلاً در مورد رودخانه‌ها وحوضه‌های آبریز بعد برخالی طولی متفاوت از بعد برخالی عرضی است 7x=0 . 72-0 . 74و 7y=0 . 51-0 . 52(ساپوژنیکوف و فوفولا ،۱۹۹۳) لذا شکل حوضه آبریز کشیده‌تر از زیر حوضه‌های درون حوضه است. به خود متشابه‌ای همسانگرد ( isotropy) می‌گویند. به خود الحاقی ناهمسانگرد( anisotropy) می‌گویند.

گسترش رو به رشد رویکرد مونوفراکتالی (تک برخالی) اخیر، داده‌ها را با مجموعه فراکتالی، بجای بعد منفرد فراکتالی توصیف می‌کند. ‌این مجموعه طیف چند برخالی (multifractal spectrum) نامیده می شود و روش توصیف تغییر پذیری بر اساس طیف سنجی چند برخالی به آنالیز چند برخالی (multifractal analysis) معروف است (فریش و پاریسی، ۱۹۸۵). روش چند برخالی به اندازه خود متشابه‌ای آماری (statistical self-similar) دلالت دارد که می تواند به صورت ترکیبی از مجموعههای متقاطع برخالی (interwoven fractal sets) مطابق با نمای مقیاس گذاری نمایش داده شود. ترکیبی از همه مجموعه‌های برخالی طیف چند برخالیی را‌ایجاد می کند که تغییر پذیری و ناهمگنی متغیر مورد مطالعه را مشخص می‌کند. مزیت رویکرد چند برخالی‌این است که پارامترهای چند برخالی می توانند مستقل از اندازه موضوع مورد مطالعه باشند. (Cox and Wang, ۱۹۹۳)

This image has been resized. Click this bar to view the full image. The original image is sized 800x600 and weights 121KB.

کاربردها

از فراکتال هابه منظور تسهیل در امور مربوط به مدل‌سازی پیچیدگی در زمینه‌های گو‌ناگون علمی و مهندسی استفاده به عمل می‌آید. از جملهٔ زمینه‌های مهم کاربردی موارد زیر را می توان برشمرد:
گرافیک رایانه‌ای
پردازش تصاویر
نظریهٔ موجک‌ها

هندسه نااقلیدوسی3

برنهارد ریمان که رساله ی دکتریش را تحت راهنمایی گئوس به نگارش در آورد در یک سخنرانی در ۱۰ ژوئن ۱۸۵۴ مفهوم هندسه را در ریاضی کاملا تغییر داد. او هندسه را ساختاری متریک تلقی کرد، همچنین وی اساس هندسه ای بیضوی را که در آن خط موازی وجود ندارد را تدوین کرد. او توانست با تعریف خمیدگی و انحنای فضا تقسیم بندی ای را برای اوناع سه هندسه بیان کند، او فرض را بر این گرفت که از یک نقطه خارج یک خط اصلا نتوان خطی به موازات آن رسم کرد.
هندسه ی اقلیدسی فضایی را مفروض می گیرد که هیچ گونه خمیگی و انحنا ندارد، اما نظام های هندسی لباچفسکی و ریمانی این خمیدگی را مفروض می گیرند.(مانند سطح یک کره) همچنین در هندسه ی نااقلیدسی جمع زوایای مثلث برابر با ۱۸۰ درجه نیست.(در هندسه اقلیدسی ۱۸۰ درجه در لباچفسکی کمتر و در ریمانی بیشتر از آن است.)
هندسه ی هذلولی Hyperbolic Geometry از کلمه ی یونانی هیپر بالئین به معنی افزایش یافتن است که در آن فاصله ی میان نیم خط ها در اصل توازی افزایش می یابد و هندسه ی بیضوی Eltipic Geometry از کلمه ی یونانی ایپیلن به معنی کوتاه شدن است که در آن فاصله رفته رفته کم می شود و سر انجام نیم خط ها رفته رفته کم می شود و سرانجام نیم خط ها یکدیگر را می برند.
بویویی و لباچفسکی سازگاری هندسه ای را که ارائه دادند را ثابت نکردند در واقع در ۱۶۶۸ بولترامی در مقاله ای الگوی دو بعدی در فضای سه بعدی اقلیدسی برای اثبات سازگاری هندسه ی هذلولی ارائه داد. بلترامی نشان داد که چگونه میتوان این هندسه را با محدودیت هایی بر روی یک سطح اقلیدسی با انحنای پایا نمایش داد و در نتیجه چگونه هر ناسازگاری که در هندسه بویایی و لباچفسکی کشف گردیده بر ناسازگاری متناظری از هندسه ی اقلیدسی کشانیده می شود. دانشمندان بعدی نیز پیشرفت هایی را در این زمینه بوجود آوردند، دانشمندانی نظیر: کیلی، کلاین، و کلیفرد.
کیلی در رساله ی ششم درباره ی کوانتیکهای مهم خود نشان داد چگونه مفهوم فاصله می تواند بر اصل های توصیف محض بنا شود و کلاین در ۱۸۷۱، با ارایه ی تعریف مناسب از فاصله این اندیشه ها را بسط داد و از دیدگاه هندسه ی نااقلیدسی تعبیر کرد. او بود که پیشنهاد کرد که هندسه ی بویایی و لباچفسکی و هندسه ی ریمان و هندسه ی اقلیدس بترتیب هذلولی، بیضوی و سهوی نامیده شود، این اصطلاحات قبول عام یافتند.
کار اقلیدس بعدها توسط ریاضیدانان دقیق و تصحیح شد که یکی از بهترین آن ها کار هیلبرت بود که با ارائه ی ۸ اصل موضوع برای وقوع، ۴ اصل برای نسبیت، ۵ اصل برای قابلیت انطباق، اصل پیوستگی، اصل ارشمیدس و اصل توازی به نتقیح کار اقلیدس پرداخت.
شاید تا اینجا این سوال برای شما پیش آمده باشد که کدام یک از سه هندسه راستین است؟ یا به عبارتی دیگر کدام هندسه عملا فضای مادی ما را توصیف می کند؟ ما در جواب به این سوال به این سخن از کایزر قناعت می کنیم و مقاله ی خود را با آن به پایان می رسانیم: «سه هندسه از حیث استواری، سازگاری درونی، سازش پذیری داخلی، و مطابقت منطقی بین اجزای خود در یک سطحند، و این بالاترین سطحی است که آدمی بدان دست یافته است. هر سه آیین فرزندان خلف یک گوهرند: گوهر هندسه پردازی که افلاطون آن را خدایی دانسته است_ و هر سه جاویدانند. کاری که خدای هماهنگی فکری آن را الهام و تایید کرده است از میان نمی تواند رفت، و زنده جاویدان است.»

منابع:
۱) سرگذشت ریاضیات، پرویز شهریاری_تهران: نشر مهاجر، ۱۳۷۹/ صص:۷۶/۸۴
۲) هندسه ی نااقلیدسی، هارولد ا.ولف، ترجمه ی احمد بیرشک_چاپ سپر.
۳) هندسه در گذشته و حال، پرویز شهریاری_چاپ رامین.
۴) هندسه های اقلیدسی و نااقلیدسی، ماروین جی گرینبرگ ، ترجمه شفیعیها ، مرکز نشر دانشگاهی
۵) هندسه نا اقلیدسی، ترجمه پرویز شهریاری، انتشارات اندیشه
۶) هندسه لوباچفسکئی، آ.س. اسموگورژفسکی ،ترجمه‌ی: احمد بیرشک، انتشارات دانشگاه صنعتی شریف
۷) لوباچوفسکی هندسه نااقلیدسی، و. کاگان، ترجمه‌ی: پرویز شهریاری، انتشارات توکا
 روزنامه شرق، شماره ۸۴۰، ۱/۶/۸۵

هندسه نااقلیدوسی2

گئوس اولین شخصی بود که بطور کامل موفق به درک هندسه ی نااقلیدسی شد. یعنی همان چیزی که ارستو قرن ها قبل بوجود آمدن آن را پیش بینی کرده بود، ارستو مینویسد:« ذات مثلث نهفته در مجموع زاویه های آن است این مجموع میتواند برابر با دو زاویه ی قائمه، بزرگتر و یا کوچکتر از آن باشد. و این در واقع، به زبان امروزی، مرزی است که سه گونه هندسه یعنی «هندسه ی اقلیدسی»، «هندسه ی لباچفسکی» و «هندسه ی ریمانی» را از هم جدا می کند.
گئوس در نامه ای به یکی از دوستانش به نام فوکوش بویویی نوشت:«راه من، تو و امثال ما برای اثبات اصل توازی راهی بی پایان است و موفقیتی در این کار نصیبمان نخواهد شد، حتی مطالعات من باعث شک در مورد حقیقت خود هندسه شده است.»
در این زمان لباچفسکی شش ساله بود و فیلسوفانی مانند کانت اجتماع را تحت الشعاع خود قرار داده بودند. از طرفی گئوس نیز به دلیل موقعیت اجتماعی خود از رو دررویی با صاحب نظران اجتناب میکرد، ظاهرا او میترسید که مطالبش را نفهمند و انتقادش کنند. خود او میگوید:«از آن می ترسم که هرکس که نشان داده است فکر ریاضی باوری دارد، آن چه را که من میگویم بد بفهمد بلکه آن را مانند یک القای خصوصی در نظر میگیریم که به هیچ روی به اطلاع مردم نرسد و برای عموم منتشر نشود.» عده ای نیز علت چاپ نکردن آثارش را اولا عقاید ماتریالیستی اش و دیگری کج فهمی های روسیه ی تزاری میدانند. به هر حال تصور گئوس در مورد منتشر ساختن نتایج کارش سبب شد که سهمی از افتخاری که تمامش ممکن بود از آن او باشد نصیب دیگران شود.
گئوس هندسه ی جدیدی را که بدان پی برده بود هندسه ی نااقلیدسی نامید و در نامه ای به دوست ریاضیدانش تاور بنوس نوشت:«همه ی تلاش های من برای یافتن یک تناقض یا ناسازگاری از این هندسه ی نااقلیدسی به شگفت انجامیده است. من گاهی به شوخی آرزو می کنم که ای کاش هندسه ی اقلیدسی راست نبود، چون در آن صورت ما از پیش انگاره ی مطلقی برای اندازه گیری داشتیم.»
یانوش بویویی پسر فوکوش نیز برای اثبات اصل پنجم تلاش می کرد و پدرش همواره به او میگفت:«تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم های این راه را از اول تا به آخر میشناسم. این شب بی پایان همه ی روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فروبرده است، التماس می کنم دانش موازی ها را رها کنی.» اما یانوش جوان از اخطار پدرش نهراسید چرا که اندیشه های دیگری را در این رابطه در ذهنش میپروراند. سال ها بعد در نامه ای به پدرش نوشت: « من چیزهای بسیار شگفت انگیزی کشف کرده ام که مرا متحیر ساخته است….من از هیچ دنیای عجیبی خلق کرده ام.» پدر یانوش او را به تسریع در اعلام کشفی که کرده بود وادار میکرد و به او میگفت:« به نظر من عاقلانه است که اگر تو به حل مساله ایی دست یافته ای در انتشار آن به دو دلیل شتاب کنی. نخست آنکه اندیشه هایت ممکن است به آسانی به دیگری القا شود و به انتشار آن دست بزند و دوم به دلیل این که بنظر می رسد که بسیاری چیزها در یک زمان، در چند جا با هم کشف شده اند.» عقیده ی پدر یانوش درست بود زیرا همین اتفاق نیز افتاد که تقریبا در یک زمان و مستقل از یکدیگر هندسه هایی که از جنبه منطقی سازگار بودند و در آن ها اصل پنجم انکار شده بود، بوسیله ی گائوس در آلمان، بویایی در مجارستان و لباچفسکی در روسیه کشف شد. بعد از اینکه پدر یانوش با خوشحالی برای گائوس نتایج کار پسرش را نوشت گائوس جواب نامه ی او را چنین آغاز کرد:«اگر با این عبارت آغاز کنم که یارای تمجید از چنین کاری را ندارم البته برای یک لحظه دچار شگفتی خواهید شد ولی کاری به جز این نمی توانم بکنم، تمجید از آن به منزله ی تمجید از خودم است.»
اما یانوش بویویی ۲۸ ساله نتیجه ی تحقیات خود را در همان سال ها در ضمیه ی ۲۶ صفحه ای کتاب تنتامن موسوم به Appendix چاپ کرد.
نیکلای لباچفسکی در همان زمان در دانشگاه غازان روسیه سخنرانی ایراد کرد، او معقد بود که اگر نتوانیم از سایر اصول هندسی اصل توازی را اثبات کنیم باید به فکر مجموعه اصول دیگری برای هندسه باشیم، اصولی که در دنیای واقعی حضور دارند
که ضمن آن شالوده ی هندسه ی هذلولی را ارایه نمود ولی متن سخنرانی دزدیده شد. او در ۱۸۲۹ محتوی کامل هندسه هذلولی را در نشریه دانشگاهی ای که به زبان روسی بود، نوشت که یازده سال بعد به آلمانی ترجمه شد.
لباچفسکی بیان کرد که از هر نقطه خارج یک خط می توان لااقل دو خط در همان صفحه و به موازات آن خط رسم کرد. او هندسه اش را در آغاز «هندسه ی انگاری» و سپس «هندسه ی عام» نام گذارد ما نیز امروزه به هندسه او هندسه ی هذلولی می گوییم. هر چند پس از فرض این هندسه بنظر می رسید که وی در ادامه به تناقض های بسیاری خواهد رسید اما توانست براساس همین فرض و مفروضات قبلی اقلیدس به مجموعه جدید از اصول هندسی برسد که حاوی هیچ گونه تناقضی نباشد. او پایه های هندسه ای را بنا نهاد که بعدها کمک بسیار زیادی به فیزیک و مکانیک غیر نیوتنی نمود.
لوباچفسکی علنا با تعلیمات و عقاید کانت درباره ی فضا به مثابه شهود ذهنی به مبارزه پرداخت. در واقع لباچفسکی با متزلزل ساختن «خلل پذیری» اصول اقلیدس ضربه ی سنگینی به فلسفهی کانت وارد ساخت. کانت معتقد بود که بررسی حقایق هندسه نتیجه ی تجربه ی انسان نیست بلکه اشکال ذاتی و غیر قابل تغییر شناخت انسانی هستند و برای این نظر خود از خلل پذیری اصول هندسه ی اقلیدسی بعنوان نقطه ی اتکای اساسی استفاده می کرد.
و بدین صورت بود که لباچفسکی و بویویی هر دو و بطور مستقل پایه گذار هندسه ی هذلولی شدند. هندسه ای که در آن نقیض اصل توازی را بجای اصل موضوع مفروض میگیریم. این امر هندسه ی حیرت انگیزی را منجر می شود که با هندسه ی اقلیدسی تفاوت اساسی دارد. به قول گائوس قضایای این هندسه به باطلنما می مانند و شاید در نظر فردی مبتدی بی معنی جلوه کنند، ولی تفکر پی گیر و آرام آشکار می سازد که هیچ چیز ناممکن در آن نیست.
کشف هندسه ی نااقلیدسی درک هندسه دان ها را به کلی دگرگون کرد همین حقیقت که هندسه ی نااقلیدسی کامل و بدون تناقض است، اعتماد چند صد ساله را نسبت به کلمات «واضح است»، «به نظر می رسد» را از بین برد، کلماتی که تکیه کلام های هندسه دان های قدیم بود. تحلیل اصل اقلیدس که قرن ها طول کشیده بود استحکام نتایج هندسه ی مقدماتی را به کلی متزلزل کرد، این تحلیل روشن کرد که بین آن حقایق هندسه که گمان میرفت ارتباطی با یکدیگر ندارند، چه ارتباط عمیقی وجود دارد. و در نتیجه روابط فضایی در جهان مادی به نحوی نمایان شد.
به این ترتیب، دستگاه اصول و تعاریف اقلیدس بعنوان پایه ای برای ساختمان هندسه غیر کافی بود. در دنیای افکار و ایده آل های جدید، دیگر این تعاریف و اصول مطلقا ناقص بودند و نمی توانسنتد پیشرفت های علوم دقیقه(فیزیک، نجوم و…) را تامین نمایند.

هندسه نااقلیدوسی

تاریخچه ی پیدایش هندسه ی نااقلیدسی:

در حدود سیصد سال قبل از میلاد، اقلیدس کتاب «مقدمات» خود را به رشته ی تحریر در آورد، او بر اساس پنچ اصل موضوع و تعدادی اصطلاح اولیه تمام هندسه ی شناخته شده تا زمان خود را بصورت دستگاهمند و به روش اصل موضوعی در کتابش ذکر کرد. یکی از اصل های اقلیدس که بیشتر از همه توجه ریاضیدانان را بخود جلب کرد، اصل پنجم این کتاب بود. اقلیدس این اصل را که به «اصل توازی» معروف شده است این طور بیان می دارد:
«اگر خطی دو خط را چنان قطع کند که مجموع زوایای داخلی کتر از دو قائمه باشد، آن گاه دو خط همدیگر را در همان طرف قطع می کنند.»
که بعدها معادل آن یعنی:«از هر نقطه خارج یک خط راست، تنها یک خط راست موازی با آن خط و در همان صفحه ی مفروض میتوان رسم کرد.» تنظیم شد. تلاش برای اثبات این اصل براساس چهار اصل دیگربه بیش از بیست قرن انجامید و در این مدت بنظر می رسید که هندسه با بن بست مواجه شده است. در واقع از همان زمان که کتاب مقدمات اقلیدس نوشته شد، بحث و تفسیر درباره ی آن آغاز گشت، این بحث ها از دو جهت بود:
۱) برطرف کردن ابهام هایی که در«تعریف ها»، «اصل ها» و «قضیه ها» وجود داشت.
۲) بحث درباره ی اصل توازی.
اما با وجود اینکه دانشمندان برای اثبات دقیق این اصل با عدم موفقیت های فراوان مواجه شده بودند، باز هم دست از کوشش بر نداشتند دلیل آن این بود که علمای هندسه اعتقاد داشتند که بدون روشن کردن موقعیت این اصل نمی توان ساختمان هندسه را بطور دقیق و کامل انجام داد، این تلاش ها سرانجام به کشف هندسه های نااقلیدسی منجر شد.
می گویند اولین کسی که به استقلال اصل پنجم یا به گفته ی کایزر «مشهورترین تک سخن در تاریخ علم» شک کرد، خود اقلیدس بود. بعد از او بطلمیوس (حدود ۱۵۰ سال پیش از میلاد) برای اثبات آن برخاست. پرودوکلوس نیز در قرن پنجم شرحی بر کتاب اصول نوشت و ضمن نشان دادن اشتباه برهان های قبلی، تلاش کرد تا اثباتی در این زمینه ارائه کند.
بعد از آن شاهد اثبات های دیگری بودیم که هیچ یک به نتیجه ی مطلوب نرسیدند. از جمله دانشمندان ایرانی که برای اثبات این اصل تلاش کرد میتوان به خیام، خواجه نصیر الدین طوسی، نیریزی و ابن هیثم اشاره نمود.
خیام در مقاله ی اول کتاب خود با نام«شرح ما اشکل من مصادرات کتاب اقلیدس»
به مساله ی اصل توازی پرداخت. او میگوید:«اشتباه دانشمندان سابق در این است که بنیان های فلسفی را در نظر نمی گیرند…». او که سخت طرفدار عقاید کانت بود منظور از عقاید فلسفی را همان عقاید کانت میداند و بدان اشاره می کند.
دانشمندان اروپایی نیز برای اثبات این اصل تلاش های در خور توجهی کردند کسانی همانند: جان والیس و جیرولاموساکری.
ساکری در ۱۶۹۷ کتابی با عنوان «اقلیدس مبرا از هر نقص» را ارائه کرد که در آن برای اثبات اصل پنجم که بیشتر به یک قضیه شبیه بود تا اصل، از روش برهان خلف استفاده کرد و سعی کرد تا به تناقض برسد، اما در واقع او هرگز به تناقضی نرسید. شاید اگر ساکری میدانست که به این دلیل ساده به تناقض نمی سد که اصلا تناقضی در کار نیست، کشف هندسه های اقلیدسی نزدیک به یک قرن زودتر صورت می پذیرفت.
اندکی بعد و در قرن ۱۸ و در آلمان لامبرت مانند ساکری با استفاده از برهان خلف سعی کرد اصل توازی را اثبات کند اما او نیز به تناقضی نرسید و در رده ی اثبات کننده گان ناکام این اصل قرار گرفت. چنین می نماید که وی دریافته بود که دلایل علیه بیشتر پی آمد سنت ها و احساسات بودند. او معتقد بود این دلایل از نوعی بودند که بایستی به یکباره از عرصه ی هندسه و نیز از میدان هر علمی بیرون رانده شود.
پژوهش های او درباره ی نظریه ی توازی بوسیله ی رساله ای از آدرین لژاندر طی سال ها کار روی اصل توازی، به مجموعه ای از اثبات های اشتباه دست یافت که از آن ها در کلاس هندسه اش استفاده میکرد اما دو گزاره ی مهم که لژاندر ثابت کرد پایه گذار «هندسه ی مطلق» (یعنی هندسه ی مبتنی بر چهار اصل اول) بود.
اصل توازی آن چنان ذهن او را به خود معطوف داشته بود که طی ۲۹ سال چند بار اصول هندسه اش را تجدید چاپ کرد و هر بار یکی از کوشش های تازه اش در مورد اصل توازی را در آن ارج نمود

دلگون چیست

الف) دلگون(Cardioid) :اگر دايره اي به شعاع 1 واحد مماس بر دايره اي به شعاع 1 واحد، حول آن بغلتد،شكلي كه يك نقطه از محيط دايره ي غلتان بر آن حركت مي كند را دلگون گويند . 

 

ب)نفروئيد(Nephroid):  اگر دايره اي به شعاع 1 واحد مماس بر دايره اي به شعاع2 واحد، حول آن بغلتد،شكلي كه يك نقطه از محيط دايره ي غلتان بر آن حركت مي كند را نفروئيد گويند .

 

 ج)دلتاگون(Deltoid):  اگر دايره اي به شعاع 1 واحد مماس بر دايره اي به شعاع3 واحد، درون آن بغلتد،شكلي كه يك نقطه از محيط دايره ي غلتان بر آن حركت مي كند را دلتاگون گويند .

 

 د)ستاره گون(Astroid):  اگر دايره اي به شعاع 1 واحد مماس بر دايره اي به شعاع4 واحد، درون آن بغلتد،شكلي كه يك نقطه از محيط دايره ي غلتان بر آن حركت مي كند را ستاره گون گويند .

                                    

توپولو}ی

توپولوژی (مکان شناسی)، مطالعه ریاضیاتی روی خصوصیاتی است که در طی تغییر شکلها ، ضربه خوردن ها و کشیده شدن اشیاء ، به طور ثابت حفظ میشوند (البته عمل پاره کردن مجاز نمی باشد). یک دایره به لحاظ توپولوژیکی هم ارز بیضی میباشد که می تواند در داخل آن با کشیده شدن تغییر شکل یابد و یک کره به سطح بیضی وار هم ارز است( یعنی یک منحنی بسته تک بعدی و بدون هیچ محل تقاطع که میتواند در فضای دو بعدی جای گیرد)، مجموعه تمام وضعیتهای ممکن برای عقربه های ساعت شمار و دقیقه شمار با هم ، به لحاظ توپولوژیکی با چنبره هم ارز است (یعنی یک سطح دوبعدی که می تواند در داخل فضای سه بعدی جای گیرد) و مجموعه تمام وضعیت های ممکن برای عقربه های ساعت شمار ، دقیقه شمار و ثانیه شمار با هم ، به لحاظ توپولوژی با یک شیء سه بعدی هم ارز می باشد.
البته توپولوژی فقط این نیست. توپولوژی با منحنی ها ، سطوح و سایر اشیاء در صفحه و فضای سه بعدی مطرح گردید. یکی از ایده های اصلی در توپولوژی این است که اشیاء فضایی مثل دایره ها و کره ها در نوع خود میتوانند به عنوان اشیاء محسوب شوند و علم اشیاء ارتباطی با چگونگی نمایش یافتن یا جای گرفتن آنها در فضا ندارد. برای مثال ، عبارت " اگر شما یک نقطه را از دایره بیرون بکشید، یک پاره خط حاصل خواهد شد " ، درست به همان اندازه که برای دایره صادق است برای بیضی و حتی دایره های پیچ خورده و گره دار نیز صدق می کند، چرا که این عبارت فقط خصوصیات توپولوژیکی را شامل می شود .
توپولوژی با مطالعه مواردی چون اشیاء فضایی از قبیل منحنی ها، سطوح، فضایی که ما آن را جهان می نامیم ، پیوستار فضا زمان با نسبیت عمومی، فراکتال ها، گره ها ، چند شکلی ها (اشیایی هستند که برخی خصوصیات فضایی اصلی آن ها مشابه با جهان ما می باشد)، فضا های مرحله ای که در فیزیک با آن ها مواجه می شئیم ( مثل فضای وضعیت های قرار گرفتن عقربه ها در ساعت) ، گروه های متقارن همچون مجموعه شیوه های چرخاندن یک رأس و غیره در ارتباط است.
توپولوژی برای جدا سازی اتصال ذاتی اشیاء و در عین حال کنار گذاشتن ساختار جزء به جزء آنها قابل استفاده می باشد.
اشیاء توپولوژیکی اغلب به صورت رسمی به عنوان فضا های توپولوژیکی تعریف می شوند. اگر دو شیء دارای خصوصیات توپولوژیکی مشابه باشند ، گفته می شود که آن ها هم ریخت هستند.البته اگر دقیق تر بگوییم ، خصوصیاتی که با کشیدن یا کج کردن یک شیء تخریب نمی شوند ، در واقع خصوصیاتی هستند که به واسطه همسانگری حفظ می شوند نه به واسطه ی هم ریختی؛ همسانگری با کج کردن اشیاء دیگر در ارتباط است در حالیکه همریختی ، خصیصه ذاتی است).
حدود سال 1900 ، (پوانکاره poincare) ، معیاری از توپولوژی را تحت عنوان هوموتوپی (Homotopy) طراحی کرد(کولینز . 2004) . به طور خاص دو شیء ریاضیاتی زمانی هوموتوپیک خوانده می شوند که یکی از آنها بتواند به طور پیوسته به شکلی مشابه شکل دیگری تغییر یابد.
توپولوژی بر سه قسم است: توپولوژی جبری(که توپولوژی ترکیبی نامیده میشود) توپولوژی نا همسان و توپولوژی کم بعدی.
یک تعریف رسمی نیز برای توپولوژی که بر حسب عملیات های مجموعه ای تعریف میشوند ، وجود دارد. یک مجموعه X به همراه یک مجموعه T از زیر مجموعه آن ، در صورتی یک توپولوژی محسوب می شود که زیر مجموعه ها در T از خصوصیات زیر پیروی نمایند:

---

توپولوژی شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی فضاهای توپولوژیکی می‌پردازد

نام

نام این رشته از واژه‌های یونانی توپو (Topo) به‌معنی مکان و (Logos) به‌معناي شناخت گرفته شده است. بنابراين، توپولوژی یعنی مکان‌شناسی.

فرهنگستان زبان و ادب فارسی برای توپولوژی واژه‌ای معادل پیشنهاد نکرده است و همان توپولوژی را در نظر گرفته است. [mahyar24.mihanblog.com/بهترین منبع برای توپولوژی راببینید]

تاریخچه

این مبحث نخستین‌بار توسط هانری پوانکاره (۱۹۱۲-۱۸۵۴) و در مقاله‌ای با نام «آنالیز مکان» به‌صورت مجموعه‌ای از روش‌ها و مسایل، دسته‌بندی شد. این مبحث در ادامه پیشرفت‌هایی بنیادین داشت و در شکل دادن به ریاضیات قرن بیستم و امروز، نقشی اساسی بازی کرد.

در صحبت از توپولوژی معمولا اشیایی مانند نوار موبیوس، بطری کلاین، گره‌ها و حلقه‌ها نخستین چیزهایی هستند که به ذهن می‌آیند. اما برخی با عبارتی طنزآمیز توپولوژیست‌ها را تعریف می‌کنند؛ آنها می‌گویند توپولوژیست کسی است که فرقی میان فنجان قهوه و دونات نمی‌بیند!

تغییرشکل پیوسته (هموتوپی) یک فنجان قهوه به یک چنبره و برعکس.

در دهه ۱۶۷۰ میلادی، گتفرید ویلهلم لایب‌نیتس (۱۷۱۶-۱۶۴۶)، در نامه‌ای به کریستین هویگنس (۱۶۲۹-۱۶۹۵)، به تشریح مفهومی پرداخت که بعدها به مهم‌ترین هدف در مطالعهٔ توپولوژی تبدیل شد:

"من معتقدم ما به یک آنالیز دیگری هم نیاز داریم که کاملاً هندسی یا خطی باشد، به‌گونه‌ای که با مکان مستقیماً همان رفتاری را داشته باشد که جبر با مفهوم بزرگی دارد."

لایب‌نیتس رویای حساب دیفرانسیل و انتگرال اشکالی را در سر می‌پروراند که در آن فرد می‌تواند به‌سادگی اعداد و اشکال را با هم ترکیب کند، مانند چندجمله‌ای‌ها، روی آنها عمل انجام دهد و به نتایج جدید و متغن هندسی دست پیدا کند. این دانش مکان، همان است که پوانکاره آن را "آنالیز مکان" نامید. ما نمی‌دانیم که لایب‌نیتس دقیقاً چه در سر داشت؛ اما این لئونارد اویلر (۱۷۰۱-۱۷۸۳) بود که نخستین مشارکت‌ها را در این شاخهٔ جوان--که وی آن را هندسهٔ مکان می‌نامید-- از خود ارائه داد. راه‌حل او برای مسئلهٔ پل‌های کنیگسبرگ و فرمول مشهور اویلر، یعنی V − E + F = 2 (كه در آن V تعداد رأس، E تعداد يال و F تعداد وجوه چندوجهي است)، نتایجی بودند که به موقعیت‌های نسبی اشکال هندسی-- و نه بزرگی ‌آنها-- بستگی داشتند.

در سدهٔ نوزدهم، کارل فردریک گاوس (۱۷۷۷-۱۸۵۵)، هنگامی که گره‌ها و حلقه‌ها را به‌عنوان تعمیمی از مدارهای سیارات مطالعه می‌کرد، به هندسهٔ مکان علاقه‌مند شد. او با نام‌گذاری اشکال گره‌ها و حلقه‌ها، یک دستگاه مقدماتی به‌وجود آورد که با روش ترکیبیاتی، گره‌های معینی را از یکدیگر مجزا می‌ساخت. برنهارد ریمان (۱۸۲۶-۱۸۶۶) نیز از روش‌های دانش نوپای آنالیز مکان، به‌عنوان ابزاری بنیادین برای مطالعهٔ توابع مختلط بهره گرفت.

یک نوار موبیوس تنها یک سطح دارد و یک لبه.

در طی سدهٔ نوزدهم، آنالیز به‌عنوان دانشی ژرف و ظریف پیشرفت پیدا کرد. با آغاز از کارهای ژرژ کانتور (۱۸۴۵-۱۹۱۸)، ایده‌هایی از جمله پیوستگی توابع و هم‌گرایی دنباله‌ها، به‌گونه‌ای فزاینده و در موقعیت‌های کلی بررسی می‌شدند تا این که در سدهٔ بیستم، و در سال ۱۹۱۴، فلیکس هاوسدورف (۱۸۶۹-۱۹۴۲) ایدهٔ کلی فضای توپولوژیکی را مطرح کرد.

مفهوم بنیادین در توپولوژی، اندیشهٔ پیوستگی است و این مفهوم برای نگاشت‌های میان دو مجموعه‌ که مجهز به مفهومی از "نزدیک بودن" باشند تعریف می‌شود (یعنی همان فضاهای توپولوژیکی) که البته این نزدیک بودن، تحت نگاشت‌های پیوسته حفظ می‌شود. توپولوژی نوعی هندسه است که در آن خواص مهم یک شکل، آنهایی درنظر گرفته می‌شوند که تحت حرکت‌های پیوسته (همئومورفیسم‌ها) حفظ گردند. در این دیدگاه، توپولوژی به‌صورت هندسهٔ صفحاتی لاستیک‌گونه تعریف می‌شود.

مفاهیم

توپولوژی یک از زمینه‌های مهم ریاضیات است که از پیشرفت مفاهیمی از هندسی و تئوری مجموعه‌ها مانند فضا، بعد، اشکال، تبدیلات و... بوجود آمده‌است. از جنبه تاریخی توپولوژی در سال 1847 به توسط لیستنگ، یکی از شاگردان گاوس، معرفی شد. نام دیگری که در اغاز بسط توپولوژی به این موضوع اطلاق می‌شد، آنالیز وضع بود. لغت توپولوژی هم به معنای زمینه‌ای در ریاضیات است و هم برای خانواده‌ای از مجموعه‌ها که دارای خصوصیات مخصوصی که برای تعریف فضای توپولوژیک، که شی بنیادین توپولوژی است، استفاده می‌شود.

توپولوژی دارای زیرشاخه‌های زیادی است. بنیادی ترین و قدیمی ترین زیرشاخه، توپولوژی نقطه-مجموعه‌است که بنیاد‌های توپولوژی بر آن بنا شده‌است و به مطالعه در زمینه‌های فشردگی، پیوستگی و اتصال می‌پردازد. از دیگر زیرشاخه‌ها توپولوژی جبری است که سعی در محاسبه درجه اتصال دارد. همچنین زیرشاخه‌هایی مانند توپولوژی هندسی، توپولوژی گراف و توپولوژی ابعاد کم نیز وجود دارد.

توپولوژی مطالعه ریاضیاتی روی خصوصیاتی است که در طی تغییر شکلها، ضربه خوردن‌ها و کشیده شدن اشیاء، به طور ثابت حفظ می‌شوند (البته عمل پاره کردن مجاز نمی‌باشد). یک دایره به لحاظ توپولوژیکی هم ارز بیضی می¬باشد که می‌تواند در داخل آن با کشیده شدن تغییر شکل یابد و یک کره به سطح بیضی وار هم ارز است(یعنی یک منحنی بسته تک بعدی و بدون هیچ محل تقاطع که می‌تواند در فضای دو بعدی جای گیرد)، مجموعه تمام وضعیتهای ممکن برای عقربه‌های ساعت شمار و دقیقه شمار با هم، به لحاظ توپولوژیکی با چنبره هم ارز است (یعنی یک سطح دوبعدی که می‌تواند در داخل فضای سه بعدی جای گیرد) و مجموعه تمام وضعیت‌های ممکن برای عقربه‌های ساعت شمار، دقیقه شمار و ثانیه شمار با هم، به لحاظ توپولوژی با یک شیء سه بعدی هم ارز می‌باشد.

توپولوژی با منحنی‌ها، سطوح و سایر اشیاء در صفحه و فضای سه بعدی مطرح گردید. یکی از ایده‌های اصلی در توپولوژی این است که اشیاء فضایی مثل دایره‌ها و کره‌ها در نوع خود می¬توانند به عنوان اشیاء محسوب شوند و علم اشیاء ارتباطی با چگونگی نمایش یافتن یا جای گرفتن آنها در فضا ندارد.

توپولوژی با مطالعه مواردی چون اشیاء فضایی از قبیل منحنی‌ها، سطوح، فضایی که ما آن را جهان می‌نامیم، پیوستار فضا زمان با نسبیت عمومی، فراکتال‌ها، گره‌ها، چند شکلی‌ها (اشیایی هستند که برخی خصوصیات فضایی اصلی آن‌ها مشابه با جهان ما می‌باشد)، فضا‌های مرحله‌ای که در فیزیک با آن‌ها مواجه می‌شویم (مثل فضای وضعیت‌های قرار گرفتن عقربه‌ها در ساعت)، گروه‌های متقارن همچون مجموعه شیوه‌های چرخاندن یک رأس و غیره در ارتباط است.

توپولوژی برای جدا سازی اتصال ذاتی اشیاء و در عین حال کنار گذاشتن ساختار جزء به جزء آنها قابل استفاده می‌باشد. اشیاء توپولوژیکی اغلب به صورت رسمی به عنوان فضا‌های توپولوژیکی تعریف می‌شوند. اگر دو شیء دارای خصوصیات توپولوژیکی مشابه باشند، گفته می‌شود که آن‌ها هم ریخت هستند.البته اگر دقیق تر بگوییم، خصوصیاتی که با کشیدن یا کج کردن یک شیء تخریب نمی‌شوند، در واقع خصوصیاتی هستند که به واسطه همسانگری حفظ می‌شوند نه به واسطهٔ هم ریختی؛ همسانگری با کج کردن اشیاء دیگر در ارتباط است در حالیکه همریختی، خصیصه ذاتی است.

حدود سال 1900، پوانکاره معیاری از توپولوژی را تحت عنوان هوموتوپی (Homotopy) طراحی کرد. به طور خاص دو شیء ریاضیاتی زمانی هوموتوپیک خوانده می‌شوند که یکی از آنها بتواند به طور پیوسته به شکلی مشابه شکل دیگری تغییر یابد.

توپولوژِی با مطالعاتی که در زمینهٔ سوالاتی که در هندسه مطرح بود، آغاز شد. مسئله 7 پل کانیگزبرگ اویلر جز اولین نتایج توپولوژیک بود. نمونه رابطه توپولوژیکی، فرمول اویلر است در مورد چندوجهی‌ها که تعداد رئوس (v) منهای تعداد خطوط یا لبه‌ها (e) باضافه تعداد سطوح (f) همیشه برابر است با 2 است.(v - e + f =2)

فرمول اویلر در سال 1752 منتشر شد ولی 63 سال بعد در سال 1813 ریاضیدان سویسی بنام لیولیر اثبات کرد که فرمول اویلر برای چندوجهی های سوراخدار صحیح نیست و فرمول کامل چنین است: v – e + f = 2g، که g تعداد سوراخ‌ها است.

52 سال بعد از لیولیر، در سال 1865، موبیوس نوار خود را معرفی کرد که فقط یک رویه دارد و از نواری بدست می‌آید که قبل از چسباندن دو سرش به یکدیگر، یک سر را 180درجه بچرخانیم و بعد بچسبانیم. 17 سال بعد در سال 1882 ریاضیدان آلمانی فلیکس کلاین بطری معروف به «بطری کلاین» را معرفی کرد که درون و برون آن از هم متمایز نیستند و بعبارتی دیگر حجم آن صفر است. توپولوژی مدرن وابسته به ایدهٔ تئوری مجموعه‌های کانتر می‌باشد که در اواخر قرن 19 مطرح شد.

مجموعه X به همراه گردایه T از زیرمجموعه‌های X را یک فضای توپولوژیکی گویند هر گاه: مجموعه‌های تهی و X، عضو T باشند. اجتماع هر گردایه از مجموعه‌های عضو T در T قرار دارد. اشتراک هر دو مجموعه عضو T در T قرار دارد. مجموعه T را یک توپولوژی روی X می‌گوییم. همچنین اعضای T مجموعه‌های باز در X و متتم آنها مجموعه‌های بسته در X هستند. اعضای X را نقاط می‌نامیم. وی یک مجموعه مانند X توپولوژیهای متعددی می‌توان تعریف کرد (حداقل دو توپولوژی گسسته و ناگسسته را می‌توانیم روی X تعریف کنیم). حال فرض کنید T1 و T2 دو توپولوژی روی X هستند. اگر هر عضو T1، عضوی از T2 نیز باشد آنگاه می‌گوییم T2 ظریفتر از T1 است. در این صورت اثباتی که برای وجود یک مجموعه باز معین ارائه می‌دهیم در مورد توپولوژی ظریفتر هم برقرار است. توابع پیوسته: فرض می‌کنیم (X,T) و (Y,U) دو فضای توپولوژیک دلخواه باشند: تابع در نقطه x واقع در X را پیوسته گوییم، هرگاه به ازای هر مجموعه باز شامل f(x) مانند BY، مجموعه بازی مانند BX شامل x وجود داشته باشد به طوری که f[BX] زیر مجموعه BY باشد. مثال: R یک فضای توپولوژیکی است و مجموعه‌های باز در آن بازه‌های باز هستند. به طور کلی فضای اقلیدسی Rn یک فضای توپولوژیکی است و مجموعه‌های باز در آن گوی‌های باز هستند. چند قضیه توپولوژی: هر بازه بسته با طول متناهی در Rn فشرده‌است. و معکوس تصویر پیوسته یک فضای فشرده، فشرده‌است. قضیه تیخونوف: حاصلضرب فضاهای فشرده، یک فضای فشرده‌است. زیر مجموعه فشرده یک فضای هاسدورف، بسته‌است. هر فضای متری هاسدورف است. به همین ترتیب می‌گوییم تابع در مجموعهٔ A واقع در X پیوسته‌است رد صورتی که در تمام نقاط A پیوسته باشد. قضیه: تابع در X پیوسته‌است اگر و تنها اگر به ازای هر زیر مجموعه باز در Y مانند BY، مجموعه¬یf[BY] − 1 زیر مجموعه باز X باشد. به طور خلاصه: فرض کنید X و Y دو فضای توپولوژیکی هستند. یک تابع بین X و Y را پیوسته می‌گوییم اگر تصویر معکوس هر مجموعه باز در X یک مجموعه باز در Y باشد. در واقع نشان می‌دهیم که هیچ شکستگی یا انفصال در تابع وجود ندارد.

تعریف ریاضی

یك فضای توپولوژیكی، زوج مرتبی مانند است كه در آن X یك مجموعه، و نیز گردایه‌ای از زیرمجموعه‌های X است، به‌گونه‌ای كه اصول موضوع زیر ارضا شوند:

۱. اجتماع هر گردایه از مجموعه‌های عضو در قرار داشته باشد؛

۲. اشتراک هر تعداد متناهی مجموعه عضو در قرار داشته باشد؛ یعنی اشتراک هر گردایه متناهی از مجموعه‌های عضو در قرار داشته باشد؛

۳. مجموعه‌های تهی و X، عضو باشند.

گردایهٔ ، توپولوژی تعریف شده روی X نام دارد. اگر توپولوژی تعریف شده روی X مشخص باشد، فضای توپولوژیكی ، به‌طور ساده‌شدهٔ X نوشته و به آن فضای X گفته می‌شود. هم‌چنین، اعضای ، مجموعه‌ها‌ی باز در X و متمم آنها، مجموعه‌های بسته در X نام دارند. اگر X یک فضای توپولوژیکی باشد، به اعضای آن نقطه گفته می‌شود. اگر x نقطه‌ای از یک مجموعهٔ باز مانند U باشد، به U، "یک همسایگی از x" نیز گفته می‌شود.

مثال

روی توپولوژی‌های گوناگونی می‌توان تعریف كرد؛ اگر مجموعه‌های باز را همان بازه‌های باز درنظر بگیریم، در این‌صورت به توپولوژی به‌دست آمده، توپولوژی استاندارد روی گفته می‌شود. با تعمیم این ایده، مجموعه‌های باز در توپولوژی معمولی روی فضای اقلیدسی ، گوی‌های باز هستند.

 مقایسهٔ توپولوژی‌های تعریف شده روی یك مجموعه

روی یک مجموعه مانند X توپولوژی‌های متعددی می‌توان تعریف کرد--دست‌كم دو توپولوژی گسسته و ناگسسته. در توپولوژی گسسته، هر زیرمجموعه از X، یك مجموعهٔ باز درنظر گرفته می‌شود و در توپولوژی ناگسسته یا بی‌مایه، تنها مجموعه‌های باز، مجموعهٔ X و تهی هستند.

برای هر توپولوژی تعریف شده روی X داریم . پس درشت‌ترین توپولوژی كه روی یك مجموعه می‌توان تعریف كرد، توپولوژی ناگسسته یا بی‌مایه، و ظریف‌ترین توپولوژی قابل تعریف روی یك مجموعه، توپولوژی گسسته است.

حال فرض کنید و دو توپولوژی روی X باشند. اگر هر عضو ، عضوی از نیز باشد، آن‌گاه گفته می‌شود ظریف‌تر از است. در این صورت اثباتی که برای وجود یک مجموعهٔ باز معین ارائه داده می‌شود، در مورد توپولوژی ظریف‌تر هم برقرار است.

چند قضیه از توپولوژی

• هر بازه بسته با طول متناهی در Rⁿ فشرده است. و معکوس
• تصویر پیوسته یک فضای فشرده، فشرده‌است.
• قضیه تیخونوف: حاصلضرب فضاهای فشرده، یک فضای فشرده‌است.
• زیر مجموعه فشرده یک فضای هاسدورف، بسته است.
• هر فضای متری هاسدورف است.

توپولو}ی

توپولوژی یک از زمینه‌های مهم ریاضیات است که از پیشرفت مفاهیمی از هندسی و تئوری مجموعه‌ها مانند فضا، بعد، اشکال، تبدیلات و... بوجود آمده‌است. از جنبه تاریخی توپولوژی در سال ۱۸۴۷ به توسط لیستنگ، یکی از شاگردان گاوس، معرفی شد. نام دیگری که در اغاز بسط توپولوژی به این موضوع اطلاق می‌شد، آنالیز وضع بود. لغت توپولوژی هم به معنای زمینه‌ای در ریاضیات است و هم برای خانواده‌ای از مجموعه‌ها که دارای خصوصیات مخصوصی که برای تعریف فضای توپولوژیک، که شی بنیادین توپولوژی است، استفاده می‌شود.

توپولوژی دارای زیرشاخه‌های زیادی است. بنیادی‌ترین و قدیمی‌ترین زیرشاخه، توپولوژی نقطه-مجموعه‌است که بنیادهای توپولوژی بر آن بنا شده‌است و به مطالعه در زمینه‌های فشردگی، پیوستگی و اتصال می‌پردازد. از دیگر زیرشاخه‌ها توپولوژی جبری است که سعی در محاسبه درجه اتصال دارد. همچنین زیرشاخه‌هایی مانند توپولوژی هندسی، توپولوژی گراف و توپولوژی ابعاد کم نیز وجود دارد.

.................

توپولوژی مطالعه ریاضیاتی روی خصوصیاتی است که در طی تغییر شکلها، ضربه خوردن‌ها و کشیده شدن اشیاء، به طور ثابت حفظ می‌شوند (البته عمل پاره کردن مجاز نمی‌باشد). یک دایره به لحاظ توپولوژیکی هم ارز بیضی می‌باشد که می‌تواند در داخل آن با کشیده شدن تغییر شکل یابد و یک کره به سطح بیضی وار هم ارز است(یعنی یک منحنی بسته تک بعدی و بدون هیچ محل تقاطع که می‌تواند در فضای دو بعدی جای گیرد)، مجموعه تمام وضعیتهای ممکن برای عقربه‌های ساعت شمار و دقیقه شمار با هم، به لحاظ توپولوژیکی با چنبره هم ارز است (یعنی یک سطح دوبعدی که می‌تواند در داخل فضای سه بعدی جای گیرد) و مجموعه تمام وضعیت‌های ممکن برای عقربه‌های ساعت شمار، دقیقه شمار و ثانیه شمار با هم، به لحاظ توپولوژی با یک شیء سه بعدی هم ارز می‌باشد.

توپولوژی با منحنی‌ها، سطوح و سایر اشیاء در صفحه و فضای سه بعدی مطرح گردید. یکی از ایده‌های اصلی در توپولوژی این است که اشیاء فضایی مثل دایره‌ها و کره‌ها در نوع خود می‌توانند به عنوان اشیاء محسوب شوند و علم اشیاء ارتباطی با چگونگی نمایش یافتن یا جای گرفتن آنها در فضا ندارد.

توپولوژی با مطالعه مواردی چون اشیاء فضایی از قبیل منحنی‌ها، سطوح، فضایی که ما آن را جهان می‌نامیم، پیوستار فضا زمان با نسبیت عمومی، فراکتال‌ها، گره‌ها، چند شکلی‌ها (اشیایی هستند که برخی خصوصیات فضایی اصلی آن‌ها مشابه با جهان ما می‌باشد)، فضاهای مرحله‌ای که در فیزیک با آن‌ها مواجه می‌شویم (مثل فضای وضعیت‌های قرار گرفتن عقربه‌ها در ساعت)، گروه‌های متقارن همچون مجموعه شیوه‌های چرخاندن یک رأس و غیره در ارتباط است.

توپولوژی برای جدا سازی اتصال ذاتی اشیاء و در عین حال کنار گذاشتن ساختار جزء به جزء آنها قابل استفاده می‌باشد. اشیاء توپولوژیکی اغلب به صورت رسمی به عنوان فضاهای توپولوژیکی تعریف می‌شوند. اگر دو شیء دارای خصوصیات توپولوژیکی مشابه باشند، گفته می‌شود که آن‌ها هم ریخت هستند. البته اگر دقیق تر بگوییم، خصوصیاتی که با کشیدن یا کج کردن یک شیء تخریب نمی‌شوند، در واقع خصوصیاتی هستند که به واسطه همسانگری حفظ می‌شوند نه به واسطهٔ هم ریختی؛ همسانگری با کج کردن اشیاء دیگر در ارتباط است در حالیکه همریختی، خصیصه ذاتی است.

حدود سال ۱۹۰۰، پوانکاره معیاری از توپولوژی را تحت عنوان هوموتوپی (Homotopy) طراحی کرد. به طور خاص دو شیء ریاضیاتی زمانی هوموتوپیک خوانده می‌شوند که یکی از آنها بتواند به طور پیوسته به شکلی مشابه شکل دیگری تغییر یابد.

توپولوژِی با مطالعاتی که در زمینهٔ سوالاتی که در هندسه مطرح بود، آغاز شد. مسئله ۷ پل کانیگزبرگ اویلر جز اولین نتایج توپولوژیک بود. نمونه رابطه توپولوژیکی، فرمول اویلر است در مورد چندوجهی‌ها که تعداد رئوس (v) منهای تعداد خطوط یا لبه‌ها (e) باضافه تعداد سطوح (f) همیشه برابر است با ۲ است.(v - e + f =۲)

فرمول اویلر در سال ۱۷۵۲ منتشر شد ولی ۶۳ سال بعد در سال ۱۸۱۳ ریاضیدان سویسی بنام لیولیر اثبات کرد که فرمول اویلر برای چندوجهی‌های سوراخدار صحیح نیست و فرمول کامل چنین است: v – e + f = ۲g، که g تعداد سوراخ‌ها است.

۵۲ سال بعد از لیولیر، در سال ۱۸۶۵، موبیوس نوار خود را معرفی کرد که فقط یک رویه دارد و از نواری بدست می‌آید که قبل از چسباندن دو سرش به یکدیگر، یک سر را ۱۸۰درجه بچرخانیم و بعد بچسبانیم. ۱۷ سال بعد در سال ۱۸۸۲ ریاضیدان آلمانی فلیکس کلاین بطری معروف به «بطری کلاین» را معرفی کرد که درون و برون آن از هم متمایز نیستند و بعبارتی دیگر حجم آن صفر است. توپولوژی مدرن وابسته به ایدهٔ تئوری مجموعه‌های کانتر می‌باشد که در اواخر قرن ۱۹ مطرح شد.

مجموعه X به همراه گردایه T از زیرمجموعه‌های X را یک فضای توپولوژیکی گویند هر گاه: مجموعه‌های تهی و X، عضو T باشند. اجتماع هر گردایه از مجموعه‌های عضو T در T قرار دارد. اشتراک هر دو مجموعه عضو T در T قرار دارد. مجموعه T را یک توپولوژی روی X می‌گوییم. همچنین اعضای T مجموعه‌های باز در X و متتم آنها مجموعه‌های بسته در X هستند. اعضای X را نقاط می‌نامیم. وی یک مجموعه مانند X توپولوژیهای متعددی می‌توان تعریف کرد (حداقل دو توپولوژی گسسته و ناگسسته را می‌توانیم روی X تعریف کنیم). حال فرض کنید T۱ و T۲ دو توپولوژی روی X هستند. اگر هر عضو T۱، عضوی از T۲ نیز باشد آنگاه می‌گوییم T۲ ظریفتر از T۱ است. در این صورت اثباتی که برای وجود یک مجموعه باز معین ارائه می‌دهیم در مورد توپولوژی ظریفتر هم برقرار است. توابع پیوسته: فرض می‌کنیم (X,T) و (Y,U) دو فضای توپولوژیک دلخواه باشند: تابع در نقطه x واقع در X را پیوسته گوییم، هرگاه به ازای هر مجموعه باز شامل f(x) مانند BY، مجموعه بازی مانند BX شامل x وجود داشته باشد به طوری که f[BX] زیر مجموعه BY باشد. مثال: R یک فضای توپولوژیکی است و مجموعه‌های باز در آن بازه‌های باز هستند. به طور کلی فضای اقلیدسی Rn یک فضای توپولوژیکی است و مجموعه‌های باز در آن گوی‌های باز هستند. چند قضیه توپولوژی: هر بازه بسته با طول متناهی در Rn فشرده‌است. و معکوس تصویر پیوسته یک فضای فشرده، فشرده‌است. قضیه تیخونوف: حاصلضرب فضاهای فشرده، یک فضای فشرده‌است. زیر مجموعه فشرده یک فضای هاسدورف، بسته‌است. هر فضای متری هاسدورف است. به همین ترتیب می‌گوییم تابع در مجموعهٔ A واقع در X پیوسته‌است رد صورتی که در تمام نقاط A پیوسته باشد. قضیه: تابع در X پیوسته‌است اگر و تنها اگر به ازای هر زیر مجموعه باز در Y مانند BY، مجموعه‌یf[BY] − ۱ زیر مجموعه باز X باشد. به طور خلاصه: فرض کنید X و Y دو فضای توپولوژیکی هستند. یک تابع بین X و Y را پیوسته می‌گوییم اگر تصویر معکوس هر مجموعه باز در X یک مجموعه باز در Y باشد. در واقع نشان می‌دهیم که هیچ شکستگی یا انفصال در تابع وجود ندارد.